Aljabar Linear Elementer I

Aljabar linear adalah cabang matematika yang mempelajari vektor, ruang vektor, transformasi linear, dan sistem persamaan linear. Konsep ini fundamental untuk berbagai bidang seperti fisika, komputer grafis, machine learning, dan ekonomi.

---

1. Vektor

1.1 Definisi Vektor

Vektor adalah besaran yang memiliki magnitude (besar) dan arah. Dalam aljabar linear, vektor sering direpresentasikan sebagai daftar bilangan terurut.

Notasi vektor di $\mathbb{R}^n$:

$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ \vdots \ v_n \end{pmatrix} $$

Contoh vektor di $\mathbb{R}^2$ dan $\mathbb{R}^3$:

1.2 Operasi Vektor

Penjumlahan Vektor

$$ \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \ u_2 + v_2 \ \vdots \ u_n + v_n \end{pmatrix} $$

Perkalian Skalar

$$ c \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} c \cdot v_1 \ c \cdot v_2 \ \vdots \ c \cdot v_n \end{pmatrix} $$

Ilustrasi Operasi Vektor

1.3 Dot Product (Perkalian Titik)

Definisi:

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i $$

Interpretasi geometris:

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta $$

di mana $\theta$ adalah sudut antara kedua vektor.

Sifat-sifat:

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (komutatif)
• $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ (distributif)
• $(c\vec{u}) \cdot \vec{v} = c(\vec{u} \cdot \vec{v})$
• $\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$

Aplikasi:

• $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (ortogonal)
• Menghitung sudut antara dua vektor: $\theta = \arccos\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\right)$
• Proyeksi vektor
• Menghitung kerja (work) dalam fisika: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$

1.4 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

Salah satu ketaksamaan paling penting dalam aljabar linear:

$$ |\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq |\vec{u}| |\vec{v}| $$

Kesamaan terjadi jika dan hanya jika $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ sejajar (salah satu kelipatan skalar dari yang lain).

Bukti (dari interpretasi geometris): Karena $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$ dan $|\cos\theta| \leq 1$, maka:

$$ |\vec{u} \cdot \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}||\cos\theta| \leq |\vec{u}||\vec{v}| $$

Konsekuensi penting:

1. Ketaksamaan Segitiga: $$|\vec{u} + \vec{v}| \leq |\vec{u}| + |\vec{v}|$$

2. Sudut antara vektor selalu terdefinisi: $$-1 \leq \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} \leq 1$$ sehingga $\cos\theta$ selalu dalam domain arccos.

Contoh numerik:

$$ \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \ 0 \ 4 \end{pmatrix} $$

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 + 0 + 8 = 11$
• $|\vec{u}| = \sqrt{1+4+4} = 3$
• $|\vec{v}| = \sqrt{9+0+16} = 5$
• Cek: $|11| = 11 \leq 3 \times 5 = 15$ ✓

1.5 Cross Product (Perkalian Silang) — khusus $\mathbb{R}^3$

$$ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ u_1 & u_2 & u_3 \ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} $$

Hasil:

$$ \vec{u} \times \vec{v} = (u_2v_3 - u_3v_2)\vec{i} - (u_1v_3 - u_3v_1)\vec{j} + (u_1v_2 - u_2v_1)\vec{k} $$

Sifat:

• $\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$ (anti-komutatif)
• $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta$
• Hasilnya tegak lurus terhadap kedua vektor (aturan tangan kanan)

1.6 Panjang (Norm) Vektor

$$ |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} $$

Vektor satuan (unit vector):

$$ \hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $$

---

2. Matriks

2.1 Definisi Matriks

Matriks adalah susunan bilangan dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang.

Matriks $A$ berukuran $m \times n$:

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} $$

Notasi: $A = [a_{ij}]_{m \times n}$

di mana $a_{ij}$ adalah elemen baris ke-$i$, kolom ke-$j$.

2.2 Jenis-jenis Matriks Khusus

Jenis	Definisi	Contoh
Matriks Persegi	$m = n$	$\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$
Matriks Identitas	$I_n$: diagonal = 1, lainnya = 0	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Matriks Nol	Semua elemen = 0	$\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$
Matriks Diagonal	$a_{ij} = 0$ untuk $i \neq j$	$\begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 5 \end{pmatrix}$
Matriks Segitiga Atas	$a_{ij} = 0$ untuk $i > j$	$\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 3 \end{pmatrix}$
Matriks Segitiga Bawah	$a_{ij} = 0$ untuk $i < j$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 2 & 3 \end{pmatrix}$
Matriks Simetris	$A^T = A$	$\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 3 \end{pmatrix}$

2.3 Operasi Matriks

Penjumlahan Matriks

Hanya untuk matriks berukuran sama. Elemen pada posisi $(i,j)$ dihitung sebagai: $$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$

Perkalian Skalar

Mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar $c$: $$(cA)_{ij} = c \cdot a_{ij}$$

Perkalian Matriks

Untuk $A_{m \times n}$ dan $B_{n \times p}$, hasil $C = AB$ berukuran $m \times p$. Elemen $c_{ij}$ dihitung: $$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$$

⚠️ Penting: Perkalian matriks TIDAK komutatif! Umumnya $AB \neq BA$

2.4 Transpose Matriks

$$ A^T = [a_{ji}] $$

Artinya, baris menjadi kolom dan sebaliknya.

$$ \text{Jika } A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \text{ maka } A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \ 2 & 5 \ 3 & 6 \end{pmatrix} $$

Sifat-sifat:

• $(A^T)^T = A$
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(cA)^T = cA^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$

---

3. Sistem Persamaan Linear (SPL)

3.1 Bentuk Umum

Sistem $m$ persamaan linear dengan $n$ variabel:

$$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \ \vdots \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$

Bentuk matriks: $A\vec{x} = \vec{b}$

3.2 Matriks Augmented

$$ [A|\vec{b}] = \left[\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right] $$

3.3 Operasi Baris Elementer (OBE)

Tiga operasi yang mempertahankan solusi SPL:

Operasi	Notasi	Deskripsi
Tukar baris	$R_i \leftrightarrow R_j$	Menukar posisi baris $i$ dan $j$
Kali baris dengan skalar	$kR_i \to R_i$	Mengalikan baris $i$ dengan $k \neq 0$
Tambah kelipatan baris	$R_i + kR_j \to R_i$	Menambah baris $i$ dengan $k$ kali baris $j$

3.4 Eliminasi Gauss & Gauss-Jordan

Tujuan: Mengubah matriks ke bentuk Eselon Baris (Row Echelon Form) atau Eselon Baris Tereduksi (Reduced Row Echelon Form).

Bentuk Eselon Baris (REF)

Syarat:

1. Semua baris nol berada di bawah
2. Leading entry (pivot) setiap baris non-nol berada di sebelah kanan pivot baris di atasnya
3. Semua entri di bawah pivot adalah 0

Bentuk Eselon Baris Tereduksi (RREF)

Syarat tambahan: 4. Setiap pivot bernilai 1 5. Pivot adalah satu-satunya entri non-nol di kolomnya

3.5 Contoh Eliminasi Gauss

Selesaikan:

$$ \begin{cases} x + 2y + 3z = 9 \ 2x + 3y + z = 8 \ 3x + y + 2z = 7 \end{cases} $$

Langkah-langkah:

Matriks Augmented:
┌                 ┐
│ 1   2   3 │  9  │
│ 2   3   1 │  8  │
│ 3   1   2 │  7  │
└                 ┘

R₂ - 2R₁ → R₂, R₃ - 3R₁ → R₃:
┌                 ┐
│ 1   2   3 │  9  │
│ 0  -1  -5 │ -10 │
│ 0  -5  -7 │ -20 │
└                 ┘

R₃ - 5R₂ → R₃:
┌                 ┐
│ 1   2   3 │  9  │
│ 0  -1  -5 │ -10 │
│ 0   0  18 │  30 │
└                 ┘

Substitusi balik:
18z = 30  →  z = 5/3
-y - 5(5/3) = -10  →  y = 5/3
x + 2(5/3) + 3(5/3) = 9  →  x = 2/3

3.6 Jenis Solusi SPL

Cara menentukan dari RREF:

Kondisi	Jenis Solusi
Tidak ada baris $[0 ; 0 ; \cdots ; 0 \mid c]$ dengan $c \neq 0$, pivot = jumlah variabel	Solusi Tunggal
Tidak ada baris $[0 ; 0 ; \cdots ; 0 \mid c]$ dengan $c \neq 0$, pivot < jumlah variabel	Tak Hingga Solusi
Ada baris $[0 ; 0 ; \cdots ; 0 \mid c]$ dengan $c \neq 0$	Tidak Ada Solusi

---

4. Determinan

4.1 Definisi

Determinan adalah nilai skalar yang diasosiasikan dengan matriks persegi. Dilambangkan $\det(A)$ atau $|A|$.

Determinan Matriks 2×2

$$ \det\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = ad - bc $$

Determinan Matriks 3×3 (Aturan Sarrus)

$$ \det\begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh $$

4.2 Ekspansi Kofaktor (Untuk n×n)

$$ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} $$

di mana kofaktor $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

dan minor $M_{ij}$ adalah determinan submatriks setelah menghapus baris $i$ dan kolom $j$.

Pola tanda kofaktor:

4.3 Sifat-sifat Determinan

Sifat	Rumus
Transpose	$\det(A^T) = \det(A)$
Perkalian	$\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$
Invers	$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$
Skalar	$\det(cA) = c^n \det(A)$ untuk matriks $n \times n$
Identitas	$\det(I) = 1$
Matriks Singular	$\det(A) = 0 \iff A$ tidak memiliki invers

Efek OBE pada determinan:

Operasi	Efek pada $\det(A)$
$R_i \leftrightarrow R_j$	Berubah tanda (×-1)
$kR_i \to R_i$	Dikalikan $k$
$R_i + kR_j \to R_i$	Tidak berubah

4.4 Interpretasi Geometris Determinan

Catatan penting:

• $\det(A) > 0$: Orientasi dipertahankan
• $\det(A) < 0$: Orientasi terbalik (refleksi)
• $\det(A) = 0$: Vektor-vektor linear dependent (kolaps menjadi dimensi lebih rendah)

4.5 Aturan Cramer

Aturan Cramer adalah metode untuk menyelesaikan SPL menggunakan determinan. Berlaku untuk sistem dengan jumlah persamaan = jumlah variabel dan determinan koefisien ≠ 0.

Untuk sistem $A\vec{x} = \vec{b}$ di mana $A$ adalah matriks $n \times n$ dengan $\det(A) \neq 0$:

$$ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} $$

di mana $A_i$ adalah matriks $A$ dengan kolom ke-$i$ diganti oleh vektor $\vec{b}$.

Contoh untuk Sistem 2×2

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

$$ x = \frac{\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \ c_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{a_1b_2 - a_2b_1} $$

$$ y = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1} $$

Contoh untuk Sistem 3×3

$$ \begin{cases} 2x + y - z = 3 \ x - y + 2z = 1 \ 3x + 2y + z = 4 \end{cases} $$

Langkah 1: Hitung $\det(A)$

$$ \det(A) = \det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \ 1 & -1 & 2 \ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} $$

Dengan ekspansi kofaktor baris pertama:

$$ = 2(-1-4) - 1(1-6) + (-1)(2+3) = -10 + 5 - 5 = -10 $$

Langkah 2: Hitung $\det(A_1)$, $\det(A_2)$, $\det(A_3)$

• $A_1$: ganti kolom 1 dengan $(3, 1, 4)^T$
• $A_2$: ganti kolom 2 dengan $(3, 1, 4)^T$
• $A_3$: ganti kolom 3 dengan $(3, 1, 4)^T$

Langkah 3: Hitung solusi

$$ x = \frac{\det(A_1)}{\det(A)}, \quad y = \frac{\det(A_2)}{\det(A)}, \quad z = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} $$

Kapan Menggunakan Cramer?

Kondisi	Keputusan
Sistem kecil (2×2, 3×3)	✅ Cramer praktis
Sistem besar (n > 4)	❌ Gunakan eliminasi Gauss (lebih efisien)
$\det(A) = 0$	❌ Cramer tidak berlaku
Hanya perlu 1 variabel	✅ Cramer efisien (hitung 2 determinan saja)

Kompleksitas:

• Cramer: $O(n! \cdot n)$ (sangat lambat untuk $n$ besar)
• Eliminasi Gauss: $O(n^3)$

---

5. Invers Matriks

5.1 Definisi

Matriks $A^{-1}$ adalah invers dari $A$ jika:

$$ AA^{-1} = A^{-1}A = I $$

Syarat: $A$ harus persegi dan $\det(A) \neq 0$ (non-singular/invertible)

5.2 Invers Matriks 2×2

$$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix} $$

di mana $A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$

Contoh:

$$ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 5 & 2 \end{pmatrix}, \quad \det(A) = 6-5 = 1 $$

$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ -5 & 3 \end{pmatrix} $$

5.3 Metode Gauss-Jordan untuk Invers

Augmentasi $[A|I]$ lalu transformasi ke $[I|A^{-1}]$:

Contoh: Mencari invers A = [2 1; 5 3]

[ 2  1 | 1  0 ]
[ 5  3 | 0  1 ]

R₁/2 → R₁:
[ 1  0.5 | 0.5  0 ]
[ 5   3  |  0   1 ]

R₂ - 5R₁ → R₂:
[ 1  0.5 | 0.5  0   ]
[ 0  0.5 | -2.5  1  ]

R₂/0.5 → R₂:
[ 1  0.5 | 0.5  0 ]
[ 0   1  | -5   2 ]

R₁ - 0.5R₂ → R₁:
[ 1  0 |  3  -1 ]
[ 0  1 | -5   2 ]

Jadi A⁻¹ = [ 3  -1 ]
           [-5   2 ]

5.4 Rumus Adjoin (untuk n×n)

$$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A) $$

di mana $\operatorname{adj}(A) = C^T$ (transpose dari matriks kofaktor)

5.5 Sifat-sifat Invers

• $(A^{-1})^{-1} = A$
• $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
• $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
• $(cA)^{-1} = \frac{1}{c}A^{-1}$

5.6 Aplikasi: Menyelesaikan SPL dengan Invers

Jika $A\vec{x} = \vec{b}$ dan $A$ invertible:

$$ \vec{x} = A^{-1}\vec{b} $$

---

6. Ruang Vektor

6.1 Definisi Ruang Vektor

Ruang vektor $V$ atas field $\mathbb{F}$ adalah himpunan dengan dua operasi:

1. Penjumlahan vektor: $\vec{u} + \vec{v} \in V$
2. Perkalian skalar: $c\vec{v} \in V$ untuk $c \in \mathbb{F}$

yang memenuhi 10 aksioma:

6.2 Contoh Ruang Vektor

Ruang	Deskripsi
$\mathbb{R}^n$	Vektor dengan $n$ komponen real
$\mathbb{R}^{m \times n}$	Matriks berukuran $m \times n$
$\mathcal{P}_n$	Polinomial berderajat $\leq n$
$C[a,b]$	Fungsi kontinu pada $[a,b]$

6.3 Subruang Vektor

Subset $W \subseteq V$ adalah subruang jika:

1. $\vec{0} \in W$ (mengandung vektor nol)
2. $\vec{u}, \vec{v} \in W \Rightarrow \vec{u} + \vec{v} \in W$ (tertutup terhadap penjumlahan)
3. $\vec{v} \in W, c \in \mathbb{F} \Rightarrow c\vec{v} \in W$ (tertutup terhadap perkalian skalar)

Atau cukup periksa: $\vec{u}, \vec{v} \in W, c, d \in \mathbb{F} \Rightarrow c\vec{u} + d\vec{v} \in W$

---

7. Kombinasi Linear, Span, dan Kebergantungan Linear

7.1 Kombinasi Linear

Definisi: Vektor $\vec{v}$ adalah kombinasi linear dari $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k$ jika:

$$ \vec{v} = c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + \cdots + c_k\vec{v}_k $$

untuk suatu skalar $c_1, c_2, \ldots, c_k$.

7.2 Span

Span dari himpunan vektor adalah himpunan semua kombinasi linear yang mungkin:

$$ \operatorname{span}{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k} = {c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + \cdots + c_k\vec{v}_k : c_i \in \mathbb{F}} $$

7.3 Kebergantungan Linear (Linear Dependence)

Himpunan ${\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k}$ disebut:

• Linear dependent jika ada skalar $c_1, \ldots, c_k$ tidak semuanya nol sehingga: $$c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + \cdots + c_k\vec{v}_k = \vec{0}$$

• Linear independent jika satu-satunya solusi adalah $c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0$

Cara menguji: Bentuk matriks dengan vektor sebagai kolom, lakukan RREF:

• Jika ada kolom tanpa pivot → Linear Dependent
• Jika setiap kolom memiliki pivot → Linear Independent

---

8. Basis dan Dimensi

8.1 Definisi Basis

Himpunan $\mathcal{B} = {\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n}$ adalah basis dari ruang vektor $V$ jika:

1. $\mathcal{B}$ linear independent
2. $\mathcal{B}$ merentang (spans) $V$: $\operatorname{span}(\mathcal{B}) = V$

Dengan kata lain: Setiap vektor di $V$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear unik dari vektor-vektor basis.

8.2 Basis Standar

Basis standar untuk $\mathbb{R}^2$:

$$ \vec{e}_1 = \begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix}, \quad \vec{e}_2 = \begin{pmatrix}0\1\end{pmatrix} $$

Basis standar untuk $\mathbb{R}^3$:

$$ \vec{e}_1 = \begin{pmatrix}1\0\0\end{pmatrix}, \quad \vec{e}_2 = \begin{pmatrix}0\1\0\end{pmatrix}, \quad \vec{e}_3 = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix} $$

Basis standar untuk $\mathbb{R}^n$:

$$ {\vec{e}_1, \vec{e}_2, \ldots, \vec{e}_n} $$

di mana $\vec{e}_i$ memiliki 1 di posisi ke-$i$ dan 0 di posisi lainnya.

Basis standar untuk $\mathcal{P}_2$ (polinomial derajat ≤ 2):

$$ {1, x, x^2} $$

8.3 Dimensi

Dimensi dari ruang vektor $V$, dilambangkan $\dim(V)$, adalah jumlah vektor dalam basis manapun dari $V$.

Fakta penting:

• Semua basis dari $V$ memiliki jumlah vektor yang sama
• $\dim(\mathbb{R}^n) = n$
• $\dim(\mathcal{P}_n) = n + 1$
• $\dim(\mathbb{R}^{m \times n}) = mn$

8.4 Teorema Terkait Basis

Jika $\dim(V) = n$, maka:

• Setiap himpunan dengan lebih dari $n$ vektor pasti linear dependent
• Setiap himpunan dengan kurang dari $n$ vektor tidak bisa merentang $V$
• Himpunan $n$ vektor yang linear independent pasti basis
• Himpunan $n$ vektor yang merentang $V$ pasti basis

---

9. Rank dan Nullity

9.1 Ruang Kolom dan Ruang Baris

Untuk matriks $A_{m \times n}$:

• Ruang Kolom $\operatorname{Col}(A)$: Span dari kolom-kolom $A$ (subruang dari $\mathbb{R}^m$)
• Ruang Baris $\operatorname{Row}(A)$: Span dari baris-baris $A$ (subruang dari $\mathbb{R}^n$)

9.2 Ruang Null (Kernel)

Ruang null dari $A$:

$$ \operatorname{Null}(A) = {\vec{x} \in \mathbb{R}^n : A\vec{x} = \vec{0}} $$

Ini adalah himpunan solusi dari SPL homogen $A\vec{x} = \vec{0}$.

9.3 Rank dan Nullity

• Rank $r(A)$ = $\dim(\operatorname{Col}(A))$ = $\dim(\operatorname{Row}(A))$ = jumlah pivot di RREF
• Nullity $\operatorname{null}(A)$ = $\dim(\operatorname{Null}(A))$ = jumlah variabel bebas

9.4 Teorema Rank-Nullity

$$ \operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n $$

di mana $n$ adalah jumlah kolom (variabel).

9.5 Hubungan Rank dengan Sifat Matriks

Untuk matriks persegi $A_{n \times n}$:

Kondisi	Artinya
$\operatorname{rank}(A) = n$	$A$ invertible, $\det(A) \neq 0$
$\operatorname{rank}(A) < n$	$A$ singular, $\det(A) = 0$
$\operatorname{nullity}(A) = 0$	$A\vec{x} = \vec{0}$ hanya punya solusi trivial
$\operatorname{nullity}(A) > 0$	$A\vec{x} = \vec{0}$ punya solusi non-trivial

---

10. Transformasi Linear

10.1 Definisi

Fungsi $T: V \to W$ adalah transformasi linear jika untuk semua $\vec{u}, \vec{v} \in V$ dan skalar $c$:

1. Aditif: $T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v})$
2. Homogen: $T(c\vec{v}) = cT(\vec{v})$

Atau ekuivalen: $T(c\vec{u} + d\vec{v}) = cT(\vec{u}) + dT(\vec{v})$

10.2 Sifat Dasar

• $T(\vec{0}) = \vec{0}$
• $T(-\vec{v}) = -T(\vec{v})$
• $T(c_1\vec{v}_1 + \cdots + c_n\vec{v}_n) = c_1T(\vec{v}_1) + \cdots + c_nT(\vec{v}_n)$

10.3 Matriks Transformasi

Setiap transformasi linear $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ dapat direpresentasikan oleh matriks $A_{m \times n}$:

$$ T(\vec{x}) = A\vec{x} $$

Cara menemukan matriks: Kolom ke-$j$ dari $A$ adalah $T(\vec{e}_j)$.

10.4 Transformasi Linear Umum di $\mathbb{R}^2$

10.5 Kernel dan Range

• Kernel (Null Space): $\ker(T) = {\vec{v} \in V : T(\vec{v}) = \vec{0}}$
• Range (Image): $\operatorname{range}(T) = {T(\vec{v}) : \vec{v} \in V}$

Teorema Dimensi:

$$ \dim(\ker(T)) + \dim(\operatorname{range}(T)) = \dim(V) $$

---

11. Eigenvalue dan Eigenvector

11.1 Definisi

Untuk matriks persegi $A$, skalar $\lambda$ adalah eigenvalue dan vektor non-nol $\vec{v}$ adalah eigenvector jika:

$$ A\vec{v} = \lambda\vec{v} $$

Interpretasi: Eigenvector adalah vektor yang hanya di-scale (tidak berubah arah) oleh transformasi $A$.

11.2 Persamaan Karakteristik

Untuk mencari eigenvalue:

$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$

Ini disebut persamaan karakteristik atau polinomial karakteristik.

11.3 Mencari Eigenvector

Setelah mendapat $\lambda$, eigenvector ditemukan dengan menyelesaikan:

$$ (A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0} $$

11.4 Contoh Lengkap

Cari eigenvalue dan eigenvector dari:

$$ A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \ 1 & 3 \end{pmatrix} $$

Langkah 1: Persamaan karakteristik

$$ \det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 4-\lambda & 2 \ 1 & 3-\lambda \end{pmatrix} = 0 $$

$$ (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0 $$

$$ \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 $$

$$ (\lambda - 5)(\lambda - 2) = 0 $$

Eigenvalue: $\lambda_1 = 5$, $\lambda_2 = 2$

Langkah 2: Eigenvector untuk $\lambda_1 = 5$

$$ (A - 5I)\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \ 1 & -2 \end{pmatrix}\vec{v} = \vec{0} $$

Dari RREF: $x_1 = 2x_2$, pilih $x_2 = 1$

$$ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} $$

Langkah 3: Eigenvector untuk $\lambda_2 = 2$

$$ (A - 2I)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \ 1 & 1 \end{pmatrix}\vec{v} = \vec{0} $$

Dari RREF: $x_1 = -x_2$, pilih $x_2 = 1$

$$ \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix} $$

11.5 Sifat-sifat Eigenvalue

Sifat	Rumus
Jumlah eigenvalue	$\sum \lambda_i = \operatorname{trace}(A) = \sum a_{ii}$
Hasil kali eigenvalue	$\prod \lambda_i = \det(A)$
Eigenvalue $A^{-1}$	$\frac{1}{\lambda}$ (dengan eigenvector sama)
Eigenvalue $A^k$	$\lambda^k$ (dengan eigenvector sama)
Eigenvalue $A + cI$	$\lambda + c$ (dengan eigenvector sama)

11.6 Diagonalisasi

Matriks $A$ diagonalizable jika:

$$ A = PDP^{-1} $$

di mana:

• $D$ = matriks diagonal dengan eigenvalue di diagonal
• $P$ = matriks dengan eigenvector sebagai kolom

Syarat: $A$ harus memiliki $n$ eigenvector yang linear independent.

Kegunaan:

$$ A^k = PD^kP^{-1} $$

Menghitung pangkat matriks menjadi mudah karena $D^k$ hanya meng-kuadratkan diagonal.

---

12. Ortogonalitas

12.1 Vektor Ortogonal

Dua vektor $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ dikatakan ortogonal (tegak lurus) jika:

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $$

12.2 Himpunan Ortogonal dan Ortonormal

• Ortogonal: $\vec{v}_i \cdot \vec{v}_j = 0$ untuk $i \neq j$
• Ortonormal: Ortogonal + setiap vektor adalah unit vector ($|\vec{v}_i| = 1$)

Contoh ortonormal di $\mathbb{R}^3$:

$$ \vec{e}_1 = \begin{pmatrix}1\0\0\end{pmatrix}, \quad \vec{e}_2 = \begin{pmatrix}0\1\0\end{pmatrix}, \quad \vec{e}_3 = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix} $$

Ketiga vektor ini saling tegak lurus dan masing-masing memiliki panjang 1.

12.3 Proyeksi Ortogonal

Proyeksi vektor $\vec{u}$ ke vektor $\vec{v}$:

$$ \operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\vec{v} \cdot \vec{v}} \vec{v} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v} $$

12.4 Proses Gram-Schmidt

Tujuan: Mengubah basis ${\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n}$ menjadi basis ortonormal ${\vec{u}_1, \vec{u}_2, \ldots, \vec{u}_n}$

Algoritma:

Langkah 1: Ortogonalisasi

$$ \vec{w}_1 = \vec{v}_1 $$

$$ \vec{w}_2 = \vec{v}_2 - \operatorname{proj}_{\vec{w}_1}(\vec{v}_2) $$

$$ \vec{w}_3 = \vec{v}_3 - \operatorname{proj}_{\vec{w}_1}(\vec{v}_3) - \operatorname{proj}_{\vec{w}_2}(\vec{v}_3) $$

dan seterusnya…

Langkah 2: Normalisasi

$$ \vec{u}_i = \frac{\vec{w}_i}{|\vec{w}_i|} $$

12.5 Matriks Ortogonal

Matriks persegi $Q$ adalah ortogonal jika:

$$ Q^TQ = QQ^T = I $$

Artinya: $Q^{-1} = Q^T$

Sifat:

• Kolom-kolom $Q$ membentuk himpunan ortonormal
• $|Q\vec{x}| = |\vec{x}|$ (mempertahankan panjang)
• $\det(Q) = \pm 1$
• Transformasi ortogonal = rotasi atau refleksi

---

13. Ringkasan Rumus Penting

Matriks Transformasi 2D

---

14. Aplikasi Aljabar Linear

14.1 Grafika Komputer

Transformasi objek 2D/3D (rotasi, scaling, translasi) menggunakan perkalian matriks. Koordinat homogen memungkinkan translasi dalam bentuk matriks.

14.2 Machine Learning

• Regresi Linear: $\vec{w} = (X^TX)^{-1}X^T\vec{y}$
• PCA (Principal Component Analysis): Menggunakan eigenvalue/eigenvector untuk reduksi dimensi
• Neural Networks: Perkalian matriks di setiap layer

14.3 Sistem Persamaan Diferensial

Solusi sistem $\frac{d\vec{x}}{dt} = A\vec{x}$ melibatkan eigenvalue dan eigenvector untuk menemukan solusi umum.

14.4 PageRank (Google)

Algoritma ranking halaman web menggunakan eigenvector dari matriks adjacency web.

14.5 Kompresi Gambar

SVD (Singular Value Decomposition) memungkinkan kompresi dengan menyimpan komponen paling signifikan.

---

15. Tips Mengerjakan Soal

1. Selalu periksa dimensi matriks sebelum operasi perkalian
2. Gunakan RREF untuk menentukan rank, nullity, dan linear independence
3. Determinan = 0 berarti matriks singular (tidak ada invers)
4. Periksa kembali eigenvalue dengan trace dan determinan
5. Jangan lupa normalisasi saat mencari basis ortonormal
6. Hati-hati tanda pada kofaktor (pola catur +/-)

---