Trigonometri: Cheatsheet Komprehensif

Cheatsheet lengkap untuk memahami trigonometri dari konsep dasar hingga aplikasi lanjutan.

1. Konsep Dasar Trigonometri

Definisi Sudut

Sudut adalah ukuran rotasi dari satu sinar ke sinar lain yang memiliki titik pangkal sama.

Satuan Sudut:

• Derajat (°): Satu putaran penuh = 360°
• Radian (rad): Satu putaran penuh = $2\pi$ rad

Konversi: $$1° = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \quad \text{dan} \quad 1 \text{ rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57.2958°$$

Sudut-Sudut Istimewa

Derajat	Radian	Sudut
0°	0	Nol
30°	$\frac{\pi}{6}$	Seperenam lingkaran
45°	$\frac{\pi}{4}$	Seperempat dari setengah lingkaran
60°	$\frac{\pi}{3}$	Sepertiga dari setengah lingkaran
90°	$\frac{\pi}{2}$	Seperempat lingkaran
180°	$\pi$	Setengah lingkaran
270°	$\frac{3\pi}{2}$	Tiga perempat lingkaran
360°	$2\pi$	Satu lingkaran penuh

Segitiga Siku-Siku

Dalam segitiga siku-siku dengan sudut $\theta$:

• Sisi miring (hypotenuse): sisi terpanjang, berhadapan dengan sudut siku-siku
• Sisi depan (opposite): sisi yang berhadapan dengan sudut $\theta$
• Sisi samping (adjacent): sisi yang bersebelahan dengan sudut $\theta$ (bukan sisi miring)

2. Fungsi Trigonometri Dasar

Definisi dengan Segitiga Siku-Siku

Untuk sudut $\theta$ dalam segitiga siku-siku:

$$\sin \theta = \frac{\text{depan}}{\text{miring}} = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$$

$$\cos \theta = \frac{\text{samping}}{\text{miring}} = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$$

$$\tan \theta = \frac{\text{depan}}{\text{samping}} = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Fungsi Kebalikan (Reciprocal)

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{miring}}{\text{depan}}$$

$$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{miring}}{\text{samping}}$$

$$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\text{samping}}{\text{depan}}$$

Mnemonik SOHCAHTOA

SOH: $\sin = \frac{\text{Opposite}}{\text{Hypotenuse}}$

CAH: $\cos = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypotenuse}}$

TOA: $\tan = \frac{\text{Opposite}}{\text{Adjacent}}$

Definisi dengan Lingkaran Satuan

Pada lingkaran satuan (jari-jari = 1) dengan titik pusat di origin:

• Titik $(x, y)$ pada lingkaran dengan sudut $\theta$ dari sumbu-x positif:
  • $\cos \theta = x$
  • $\sin \theta = y$

$$x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$

3. Nilai Fungsi Trigonometri Sudut Istimewa

Tabel Nilai Sudut Istimewa

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$	$\csc \theta$	$\sec \theta$	$\cot \theta$
0°	0	1	0	$\infty$	1	$\infty$
30°	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	2	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	$\sqrt{3}$
45°	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	1
60°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	2	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
90°	1	0	$\infty$	1	$\infty$	0
120°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	$-2$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$
135°	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}$	$-1$
150°	$\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	2	$-\frac{2}{\sqrt{3}}$	$-\sqrt{3}$
180°	0	$-1$	0	$\infty$	$-1$	$\infty$

Cara Mengingat Nilai Sin dan Cos

Untuk $\sin \theta$ pada sudut istimewa (0°, 30°, 45°, 60°, 90°): $$\sin 0° = \frac{\sqrt{0}}{2}, \quad \sin 30° = \frac{\sqrt{1}}{2}, \quad \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 90° = \frac{\sqrt{4}}{2}$$

Untuk $\cos \theta$: urutan kebalikan dari $\sin \theta$ $$\cos 0° = \frac{\sqrt{4}}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 60° = \frac{\sqrt{1}}{2}, \quad \cos 90° = \frac{\sqrt{0}}{2}$$

4. Tanda Fungsi Trigonometri di Setiap Kuadran

Aturan ASTC (All Students Take Calculus)

Kuadran	Sudut	Sin	Cos	Tan	Fungsi Positif
I	0° - 90°	+	+	+	All (semua positif)
II	90° - 180°	+	-	-	Sin (dan csc)
III	180° - 270°	-	-	+	Tan (dan cot)
IV	270° - 360°	-	+	-	Cos (dan sec)

Sudut Referensi

Sudut referensi adalah sudut lancip yang dibentuk oleh sisi terminal sudut dengan sumbu-x.

Untuk sudut $\theta$:

• Kuadran I: Sudut referensi = $\theta$
• Kuadran II: Sudut referensi = $180° - \theta$ atau $\pi - \theta$
• Kuadran III: Sudut referensi = $\theta - 180°$ atau $\theta - \pi$
• Kuadran IV: Sudut referensi = $360° - \theta$ atau $2\pi - \theta$

5. Identitas Trigonometri Fundamental

Identitas Pythagoras

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

$$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

Variasi: $$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \quad \text{dan} \quad \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$$

$$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 \quad \text{dan} \quad \cot^2 \theta = \csc^2 \theta - 1$$

Identitas Rasio

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

$$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\tan \theta}$$

$$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$$

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$$

Identitas Ko-fungsi (Complementary)

Untuk sudut komplementer ($\alpha + \beta = 90°$):

$$\sin(90° - \theta) = \cos \theta$$

$$\cos(90° - \theta) = \sin \theta$$

$$\tan(90° - \theta) = \cot \theta$$

$$\cot(90° - \theta) = \tan \theta$$

$$\sec(90° - \theta) = \csc \theta$$

$$\csc(90° - \theta) = \sec \theta$$

Identitas Sudut Negatif (Odd/Even)

Fungsi Ganjil (Odd): $$\sin(-\theta) = -\sin \theta$$ $$\tan(-\theta) = -\tan \theta$$ $$\cot(-\theta) = -\cot \theta$$ $$\csc(-\theta) = -\csc \theta$$

Fungsi Genap (Even): $$\cos(-\theta) = \cos \theta$$ $$\sec(-\theta) = \sec \theta$$

6. Identitas Penjumlahan dan Pengurangan Sudut

Penjumlahan Sudut

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$

Pengurangan Sudut

$$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

$$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

Contoh Aplikasi

Mencari nilai $\sin 75°$: $$\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°$$ $$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

7. Identitas Sudut Ganda (Double Angle)

Sudut Ganda untuk Sin

$$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$$

Sudut Ganda untuk Cos

$$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$

$$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$$

$$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$$

Sudut Ganda untuk Tan

$$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

Identitas Setengah Sudut (Half Angle)

$$\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$

$$\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$

$$\tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$$

Catatan: Tanda $\pm$ bergantung pada kuadran dari $\frac{\theta}{2}$.

8. Identitas Sudut Tiga Kali (Triple Angle)

$$\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$$

$$\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$$

$$\tan 3\theta = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}$$

9. Identitas Jumlah ke Produk (Sum-to-Product)

$$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$$

$$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$$

$$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$$

$$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$$

10. Identitas Produk ke Jumlah (Product-to-Sum)

$$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$$

$$\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)]$$

$$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$$

$$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$$

11. Fungsi Trigonometri Invers

Definisi Fungsi Invers

Fungsi invers trigonometri memberikan sudut dari nilai rasio trigonometri.

| Fungsi | Notasi Alternatif | Domain | Range | | ------------------ | ----------------- | ------------------- | -------------------------------------------- | ------- | ------------------------------------------------------------ | | $\arcsin x$ | $\sin^{-1} x$ | $[-1, 1]$ | $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ | | $\arccos x$ | $\cos^{-1} x$ | $[-1, 1]$ | $[0, \pi]$ | | $\arctan x$ | $\tan^{-1} x$ | $(-\infty, \infty)$ | $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ | | $\text{arccsc } x$ | $\csc^{-1} x$ | $ | x | \geq 1$ | $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \setminus {0}$ | | $\text{arcsec } x$ | $\sec^{-1} x$ | $ | x | \geq 1$ | $[0, \pi] \setminus \left{\frac{\pi}{2}\right}$ | | $\text{arccot } x$ | $\cot^{-1} x$ | $(-\infty, \infty)$ | $(0, \pi)$ |

Nilai-Nilai Penting Fungsi Invers

$$\arcsin(0) = 0, \quad \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}, \quad \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$$

$$\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}, \quad \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$$

$$\arccos(1) = 0, \quad \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}, \quad \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$$

$$\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}, \quad \arccos(0) = \frac{\pi}{2}, \quad \arccos(-1) = \pi$$

$$\arctan(0) = 0, \quad \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}, \quad \arctan(1) = \frac{\pi}{4}, \quad \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$$

Identitas Fungsi Invers

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$$

$$\arctan x + \text{arccot } x = \frac{\pi}{2}$$

$$\arctan x + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \begin{cases} \frac{\pi}{2} & \text{jika } x > 0 \ -\frac{\pi}{2} & \text{jika } x < 0 \end{cases}$$

Turunan Fungsi Invers

$$\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}$$

$$\frac{d}{dx}(\text{arccot } x) = -\frac{1}{1+x^2}$$

$$\frac{d}{dx}(\text{arcsec } x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

$$\frac{d}{dx}(\text{arccsc } x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

12. Hukum Sinus

Rumus Hukum Sinus

Untuk segitiga dengan sisi $a$, $b$, $c$ dan sudut $A$, $B$, $C$ yang berhadapan:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

Di mana $R$ adalah jari-jari lingkaran luar (circumradius) segitiga.

Bentuk Alternatif

$$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$$

Kapan Menggunakan Hukum Sinus

• Diketahui dua sudut dan satu sisi (AAS atau ASA)
• Diketahui dua sisi dan sudut berhadapan dengan salah satu sisi (SSA) - hati-hati kasus ambigu!

Kasus Ambigu (SSA)

Ketika diketahui dua sisi ($a$, $b$) dan sudut berhadapan dengan sisi yang lebih pendek ($A$), mungkin ada:

• Tidak ada solusi: jika $a < b \sin A$
• Satu solusi: jika $a = b \sin A$ atau $a \geq b$
• Dua solusi: jika $b \sin A < a < b$

13. Hukum Kosinus

Rumus Hukum Kosinus

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

Bentuk untuk Mencari Sudut

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

$$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Kapan Menggunakan Hukum Kosinus

• Diketahui tiga sisi (SSS)
• Diketahui dua sisi dan sudut yang diapit (SAS)

Hubungan dengan Teorema Pythagoras

Ketika $C = 90°$, maka $\cos C = 0$, sehingga: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab(0) = a^2 + b^2$$

Ini adalah Teorema Pythagoras!

14. Luas Segitiga

Rumus Luas dengan Trigonometri

$$\text{Luas} = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ac \sin B$$

Rumus Heron

Jika $s = \frac{a+b+c}{2}$ (setengah keliling), maka:

$$\text{Luas} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Hubungan Luas dengan Circumradius

$$\text{Luas} = \frac{abc}{4R}$$

Hubungan Luas dengan Inradius

$$\text{Luas} = rs$$

Di mana $r$ adalah jari-jari lingkaran dalam (inradius) dan $s$ adalah setengah keliling.

15. Persamaan Trigonometri

Solusi Umum untuk Sin

Jika $\sin \theta = k$ (dengan $|k| \leq 1$), maka:

$$\theta = \arcsin k + 2n\pi \quad \text{atau} \quad \theta = \pi - \arcsin k + 2n\pi$$

Di mana $n$ adalah bilangan bulat.

Bentuk ringkas: $$\theta = n\pi + (-1)^n \arcsin k, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Solusi Umum untuk Cos

Jika $\cos \theta = k$ (dengan $|k| \leq 1$), maka:

$$\theta = \pm \arccos k + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Solusi Umum untuk Tan

Jika $\tan \theta = k$, maka:

$$\theta = \arctan k + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Persamaan Khusus

Persamaan	Solusi Umum
$\sin \theta = 0$	$\theta = n\pi$
$\sin \theta = 1$	$\theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$
$\sin \theta = -1$	$\theta = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi$
$\cos \theta = 0$	$\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$
$\cos \theta = 1$	$\theta = 2n\pi$
$\cos \theta = -1$	$\theta = \pi + 2n\pi$
$\tan \theta = 0$	$\theta = n\pi$

Strategi Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

1. Faktorisasi: Ubah ke bentuk produk = 0
2. Substitusi: Gunakan $u = \sin \theta$ atau $u = \cos \theta$
3. Identitas: Gunakan identitas untuk menyederhanakan
4. Kuadratik: Ubah ke persamaan kuadrat dalam satu fungsi trigonometri

Contoh: Selesaikan $2\sin^2 \theta - 3\sin \theta + 1 = 0$

Misalkan $u = \sin \theta$: $$2u^2 - 3u + 1 = 0$$ $$(2u - 1)(u - 1) = 0$$ $$u = \frac{1}{2} \quad \text{atau} \quad u = 1$$

Jadi: $$\sin \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \text{ atau } \theta = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$$ $$\sin \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$$

16. Grafik Fungsi Trigonometri

Bentuk Umum

Bentuk umum fungsi sinusoidal: $$y = A \sin(Bx + C) + D \quad \text{atau} \quad y = A \cos(Bx + C) + D$$

| Parameter | Efek | | --------- | ------------------------------------------------------- | --- | -------------------------------------- | | $A$ | Amplitudo = $ | A | $ (tinggi gelombang dari garis tengah) | | $B$ | Periode = $\frac{2\pi}{ | B | }$ (panjang satu siklus) | | $C$ | Pergeseran fase = $-\frac{C}{B}$ (geser horizontal) | | $D$ | Pergeseran vertikal (garis tengah di $y = D$) |

Grafik $y = \sin x$

• Domain: $(-\infty, \infty)$
• Range: $[-1, 1]$
• Periode: $2\pi$
• Amplitudo: 1
• Titik penting: $(0, 0)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$, $(\pi, 0)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$, $(2\pi, 0)$

Grafik $y = \cos x$

• Domain: $(-\infty, \infty)$
• Range: $[-1, 1]$
• Periode: $2\pi$
• Amplitudo: 1
• Titik penting: $(0, 1)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$, $(\pi, -1)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)$, $(2\pi, 1)$

Grafik $y = \tan x$

• Domain: $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$
• Range: $(-\infty, \infty)$
• Periode: $\pi$
• Asimtot vertikal: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Grafik $y = \cot x$

• Domain: $x \neq n\pi$
• Range: $(-\infty, \infty)$
• Periode: $\pi$
• Asimtot vertikal: $x = n\pi$

Grafik $y = \sec x$

• Domain: $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$
• Range: $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$
• Periode: $2\pi$
• Asimtot vertikal: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Grafik $y = \csc x$

• Domain: $x \neq n\pi$
• Range: $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$
• Periode: $2\pi$
• Asimtot vertikal: $x = n\pi$

17. Identitas Pangkat (Power-Reducing)

Identitas ini berguna untuk mengintegrasikan pangkat fungsi trigonometri.

$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$$

$$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$

$$\tan^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta}$$

Pangkat Lebih Tinggi

$$\sin^3 \theta = \frac{3\sin \theta - \sin 3\theta}{4}$$

$$\cos^3 \theta = \frac{3\cos \theta + \cos 3\theta}{4}$$

$$\sin^4 \theta = \frac{3 - 4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$$

$$\cos^4 \theta = \frac{3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$$

18. Rumus Mollweide dan Projeksi

Rumus Mollweide

Digunakan untuk mengecek kebenaran solusi segitiga:

$$\frac{a - b}{c} = \frac{\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{C}{2}\right)}$$

$$\frac{a + b}{c} = \frac{\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}{\sin\left(\frac{C}{2}\right)}$$

Rumus Projeksi

$$a = b \cos C + c \cos B$$

$$b = a \cos C + c \cos A$$

$$c = a \cos B + b \cos A$$

19. Rumus Tangen Setengah Sudut Segitiga

Jika $s = \frac{a+b+c}{2}$ dan $r$ adalah inradius:

$$\tan \frac{A}{2} = \frac{r}{s-a}$$

$$\tan \frac{B}{2} = \frac{r}{s-b}$$

$$\tan \frac{C}{2} = \frac{r}{s-c}$$

Bentuk Alternatif

$$\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$$

$$\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$$

$$\cos \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}$$

20. Aplikasi Trigonometri

Jarak dan Tinggi

Sudut Elevasi: Sudut dari horizontal ke atas menuju objek.

Sudut Depresi: Sudut dari horizontal ke bawah menuju objek.

Rumus dasar: $$\text{Tinggi} = \text{Jarak} \times \tan(\text{sudut elevasi})$$

Navigasi dan Bearing

Bearing adalah arah yang diukur searah jarum jam dari utara.

Untuk dua titik dengan bearing $\theta$:

• Perpindahan timur (East): $d \sin \theta$
• Perpindahan utara (North): $d \cos \theta$

Gerak Harmonik Sederhana

Posisi partikel dalam gerak harmonik sederhana: $$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$$

Di mana:

• $A$ = amplitudo
• $\omega$ = frekuensi sudut (rad/s)
• $\phi$ = fase awal
• Periode $T = \frac{2\pi}{\omega}$
• Frekuensi $f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$

Gelombang dan Interferensi

Penjumlahan dua gelombang dengan frekuensi sama: $$A_1 \sin(\omega t) + A_2 \sin(\omega t + \phi) = A \sin(\omega t + \psi)$$

Di mana: $$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos \phi}$$

Vektor dan Komponen

Untuk vektor dengan magnitude $r$ dan sudut $\theta$:

• Komponen horizontal: $r_x = r \cos \theta$
• Komponen vertikal: $r_y = r \sin \theta$
• Magnitude: $r = \sqrt{r_x^2 + r_y^2}$
• Sudut: $\theta = \arctan\left(\frac{r_y}{r_x}\right)$

21. Koordinat Polar

Konversi Koordinat

Dari Kartesius ke Polar: $$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$ $$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$$

Dari Polar ke Kartesius: $$x = r \cos \theta$$ $$y = r \sin \theta$$

Persamaan Polar Umum

Bentuk	Persamaan Polar
Lingkaran pusat origin	$r = a$
Garis melalui origin	$\theta = \alpha$
Lingkaran melalui origin	$r = 2a \cos \theta$ atau $r = 2a \sin \theta$
Limacon	$r = a + b \cos \theta$
Cardioid	$r = a(1 + \cos \theta)$
Rose	$r = a \cos(n\theta)$
Lemniscate	$r^2 = a^2 \cos(2\theta)$
Spiral Archimedean	$r = a\theta$

22. Bilangan Kompleks dan Trigonometri

Bentuk Polar Bilangan Kompleks

$$z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = r \cdot \text{cis } \theta$$

Di mana:

• $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ (modulus)
• $\theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$ (argumen)

Rumus Euler

$$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$

Sehingga: $$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$$

$$\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$

Rumus De Moivre

$$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$$

Atau dalam bentuk eksponensial: $$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$$

Akar Ke-n Bilangan Kompleks

Akar ke-$n$ dari $z = r \cdot \text{cis } \theta$:

$$z_k = \sqrt[n]{r} \cdot \text{cis}\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \quad k = 0, 1, 2, …, n-1$$

23. Deret Fourier (Pendahuluan)

Definisi

Fungsi periodik $f(x)$ dengan periode $2\pi$ dapat dinyatakan sebagai:

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$$

Koefisien Fourier

$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) , dx$$

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) , dx$$

$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) , dx$$

Sifat Ortogonalitas

$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) , dx = \begin{cases} 0 & \text{jika } m \neq n \ \pi & \text{jika } m = n \end{cases}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx) , dx = \begin{cases} 0 & \text{jika } m \neq n \ \pi & \text{jika } m = n \end{cases}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \cos(nx) , dx = 0 \quad \text{untuk semua } m, n$$

24. Identitas Hiperbolik dan Hubungannya dengan Trigonometri

Definisi Fungsi Hiperbolik

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$

$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

$$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

Hubungan dengan Fungsi Trigonometri

$$\sin(ix) = i \sinh x$$

$$\cos(ix) = \cosh x$$

$$\sinh(ix) = i \sin x$$

$$\cosh(ix) = \cos x$$

Identitas Hiperbolik

$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$$

$$1 - \tanh^2 x = \text{sech}^2 x$$

$$\coth^2 x - 1 = \text{csch}^2 x$$

25. Limit Trigonometri Penting

Limit Fundamental

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$$

Deret Taylor

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$

$$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots \quad \text{untuk } |x| < \frac{\pi}{2}$$

$$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \quad \text{untuk } |x| \leq 1$$

$$\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \frac{15x^7}{336} + \cdots \quad \text{untuk } |x| \leq 1$$

26. Integral Trigonometri

Integral Dasar

$$\int \sin x , dx = -\cos x + C$$

$$\int \cos x , dx = \sin x + C$$

$$\int \tan x , dx = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C$$

$$\int \cot x , dx = \ln|\sin x| + C$$

$$\int \sec x , dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$$

$$\int \csc x , dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C = \ln|\csc x - \cot x| + C$$

Integral Kuadrat

$$\int \sin^2 x , dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$$

$$\int \cos^2 x , dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$$

$$\int \tan^2 x , dx = \tan x - x + C$$

$$\int \cot^2 x , dx = -\cot x - x + C$$

$$\int \sec^2 x , dx = \tan x + C$$

$$\int \csc^2 x , dx = -\cot x + C$$

Integral dengan Hasil Invers

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} , dx = \arcsin x + C$$

$$\int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} , dx = \arccos x + C$$

$$\int \frac{1}{1+x^2} , dx = \arctan x + C$$

$$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} , dx = \text{arcsec } |x| + C$$

Reduksi untuk Pangkat

$$\int \sin^n x , dx = -\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x , dx$$

$$\int \cos^n x , dx = \frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x , dx$$

27. Tips dan Trik Menghafal

Mnemonik untuk Tanda di Kuadran

“All Students Take Calculus”

• All: Kuadran I - semua positif
• Students: Kuadran II - hanya Sin positif
• Take: Kuadran III - hanya Tan positif
• Calculus: Kuadran IV - hanya Cos positif

Segitiga Ajaib untuk Sudut Istimewa

Segitiga 30-60-90: Sisi berbanding $1 : \sqrt{3} : 2$

Segitiga 45-45-90: Sisi berbanding $1 : 1 : \sqrt{2}$

Pola Nilai Sin

Untuk sudut 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: $$\sin \theta = \frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$$

Nilai $\cos \theta$ adalah urutan terbalik.

Hubungan Penting

• $\sin$ dan $\cos$ adalah ko-fungsi: $\sin \theta = \cos(90° - \theta)$
• $\tan$ dan $\cot$ adalah ko-fungsi: $\tan \theta = \cot(90° - \theta)$
• $\sec$ dan $\csc$ adalah ko-fungsi: $\sec \theta = \csc(90° - \theta)$

Cara Cepat Identitas Sudut Ganda

Ingat $\cos 2\theta$ punya 3 bentuk:

1. $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ (bentuk campuran)
2. $2\cos^2 \theta - 1$ (bentuk kosinus)
3. $1 - 2\sin^2 \theta$ (bentuk sinus)

Dari bentuk 2 dan 3, bisa diturunkan identitas power-reducing.

28. Rangkuman Formula Penting

Identitas Fundamental

Identitas	Formula
Pythagoras	$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
Rasio	$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
Ko-fungsi	$\sin(90° - \theta) = \cos \theta$
Sudut negatif	$\sin(-\theta) = -\sin \theta$, $\cos(-\theta) = \cos \theta$

Rumus Penjumlahan

Fungsi	Penjumlahan	Pengurangan
Sin	$\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$	$\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$
Cos	$\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$	$\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$
Tan	$\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$	$\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

Sudut Ganda dan Setengah

Tipe	Sin	Cos
Ganda	$2\sin\theta\cos\theta$	$\cos^2\theta - \sin^2\theta$
Setengah	$\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$	$\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$

Segitiga

Hukum	Formula
Sinus	$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
Kosinus	$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Luas	$\frac{1}{2}ab\sin C$