Kalkulus: Cheatsheet Komprehensif

Cheatsheet lengkap untuk memahami kalkulus dari konsep dasar hingga aplikasi lanjutan.

1. Limit (Batas)

Konsep Limit

Definisi: Limit dari fungsi $f(x)$ saat $x$ mendekati $a$ adalah nilai yang didekati oleh $f(x)$ ketika $x$ semakin dekat ke $a$.

Notasi: $$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

Artinya: Nilai $f(x)$ mendekati $L$ ketika $x$ mendekati $a$.

Definisi Formal (Epsilon-Delta): $$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon$$

Sifat-sifat Limit

Jika $\lim_{x \to a} f(x) = L$ dan $\lim_{x \to a} g(x) = M$, maka:

Sifat	Rumus
Penjumlahan	$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M$
Pengurangan	$\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = L - M$
Perkalian Konstanta	$\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot L$
Perkalian	$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$
Pembagian	$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$, jika $M \neq 0$
Pangkat	$\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n$
Akar	$\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L}$, jika $L \geq 0$ untuk $n$ genap

Limit Satu Sisi

Limit Kiri: $$\lim_{x \to a^-} f(x) = L$$ Artinya: $x$ mendekati $a$ dari kiri (nilai yang lebih kecil dari $a$).

Limit Kanan: $$\lim_{x \to a^+} f(x) = L$$ Artinya: $x$ mendekati $a$ dari kanan (nilai yang lebih besar dari $a$).

Syarat Limit Ada: $$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$$

Contoh: Untuk $f(x) = |x|/x$:

• $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ tidak ada (limit kiri ≠ limit kanan)

Limit Tak Hingga

Limit Menuju Tak Hingga: $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$$

Limit Bernilai Tak Hingga: $$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$$

Rumus Penting:

• $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0$ untuk $n > 0$
• $\lim_{x \to \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots} = \begin{cases} 0 & \text{jika } n < m \ \frac{a_n}{b_m} & \text{jika } n = m \ \pm\infty & \text{jika } n > m \end{cases}$

Limit Trigonometri

Limit Fundamental:

Limit	Nilai
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$	$1$
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$	$1$
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$	$0$
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$	$\frac{1}{2}$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx}$	$\frac{a}{b}$
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{bx}$	$\frac{a}{b}$

Contoh: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{5} \cdot \frac{\sin 3x}{3x} = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5}$$

Limit Eksponensial dan Logaritma

Limit Fundamental:

Limit	Nilai
$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}$	$e$
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$	$e$
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$	$1$
$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x}$	$\ln a$
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}$	$1$
$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$	$0$
$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n}$	$\infty$ (untuk setiap $n$)

Contoh: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{e^{2x} - 1}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$$

Aturan L’Hôpital

Konsep: Untuk limit bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$:

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}$$

asalkan limit di ruas kanan ada.

Bentuk Tak Tentu:

• $\frac{0}{0}$
• $\frac{\infty}{\infty}$
• $0 \cdot \infty$ (ubah ke $\frac{0}{1/\infty}$ atau $\frac{\infty}{1/0}$)
• $\infty - \infty$ (gabungkan menjadi satu pecahan)
• $0^0$, $\infty^0$, $1^\infty$ (gunakan logaritma)

Contoh: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \frac{1}{1} = 1$$

Kekontinuan Fungsi

Definisi: Fungsi $f$ kontinu di $x = a$ jika:

1. $f(a)$ terdefinisi
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ ada
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Jenis Diskontinuitas:

Jenis	Ciri
Diskontinuitas Terangkat (Removable)	Limit ada, tapi $f(a)$ tidak terdefinisi atau $f(a) \neq \lim_{x \to a} f(x)$
Diskontinuitas Lompat (Jump)	Limit kiri ≠ limit kanan
Diskontinuitas Tak Hingga (Infinite)	Limit bernilai $\pm\infty$

Teorema Nilai Antara (Intermediate Value Theorem): Jika $f$ kontinu pada $[a, b]$ dan $k$ adalah nilai antara $f(a)$ dan $f(b)$, maka ada $c \in (a, b)$ sehingga $f(c) = k$.

---

2. Turunan (Derivative)

Konsep Turunan

Definisi: Turunan dari fungsi $f(x)$ di titik $x = a$ adalah:

$$f’(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

atau secara ekuivalen:

$$f’(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

Notasi Turunan:

• $f’(x)$ (Lagrange)
• $\frac{df}{dx}$ atau $\frac{d}{dx}f(x)$ (Leibniz)
• $Df(x)$ (Euler)
• $\dot{f}$ (Newton, biasanya untuk turunan terhadap waktu)

Interpretasi Geometris: Turunan $f’(a)$ adalah gradien (kemiringan) garis singgung kurva $y = f(x)$ di titik $(a, f(a))$.

Persamaan Garis Singgung: $$y - f(a) = f’(a)(x - a)$$

Aturan Dasar Turunan

Fungsi	Turunan
$c$ (konstanta)	$0$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\log_a x$	$\frac{1}{x \ln a}$

Aturan Operasi Turunan

Aturan	Rumus
Penjumlahan/Pengurangan	$(f \pm g)’ = f’ \pm g’$
Perkalian Konstanta	$(cf)’ = cf’$
Perkalian (Product Rule)	$(fg)’ = f’g + fg’$
Pembagian (Quotient Rule)	$\left(\frac{f}{g}\right)’ = \frac{f’g - fg’}{g^2}$
Rantai (Chain Rule)	$(f \circ g)‘(x) = f’(g(x)) \cdot g’(x)$

Product Rule - Bentuk Leibniz: $$\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$$

Quotient Rule - Bentuk Leibniz: $$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$$

Chain Rule - Bentuk Leibniz: $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Turunan Fungsi Trigonometri

Fungsi	Turunan
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^2 x$
$\cot x$	$-\csc^2 x$
$\sec x$	$\sec x \tan x$
$\csc x$	$-\csc x \cot x$

Turunan Fungsi Trigonometri Invers

| Fungsi | Turunan | | ------------------ | --------------------------- | --- | ---------------- | | $\arcsin x$ | $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | | $\arccos x$ | $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | | $\arctan x$ | $\frac{1}{1 + x^2}$ | | $\text{arccot } x$ | $-\frac{1}{1 + x^2}$ | | $\text{arcsec } x$ | $\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}}$ | | $\text{arccsc } x$ | $-\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}}$ |

Turunan Fungsi Hiperbolik

Fungsi	Turunan
$\sinh x$	$\cosh x$
$\cosh x$	$\sinh x$
$\tanh x$	$\text{sech}^2 x$
$\coth x$	$-\text{csch}^2 x$
$\text{sech } x$	$-\text{sech } x \tanh x$
$\text{csch } x$	$-\text{csch } x \coth x$

Definisi Fungsi Hiperbolik:

• $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
• $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
• $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

Turunan Implisit

Konsep: Untuk persamaan $F(x, y) = 0$ dimana $y$ tidak dapat dinyatakan eksplisit sebagai fungsi $x$:

1. Turunkan kedua ruas terhadap $x$
2. Ingat bahwa $y$ adalah fungsi dari $x$, sehingga $\frac{d}{dx}(y) = \frac{dy}{dx}$
3. Selesaikan untuk $\frac{dy}{dx}$

Contoh: Untuk $x^2 + y^2 = 25$: $$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = 0$$ $$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Turunan Logaritmik

Konsep: Untuk fungsi $y = f(x)^{g(x)}$ atau perkalian/pembagian rumit:

1. Ambil logaritma natural kedua ruas: $\ln y = g(x) \ln f(x)$
2. Turunkan secara implisit
3. Kalikan dengan $y$

Contoh: Untuk $y = x^x$: $$\ln y = x \ln x$$ $$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$ $$\frac{dy}{dx} = x^x(\ln x + 1)$$

Turunan Tingkat Tinggi

Notasi:

• Turunan kedua: $f”(x)$ atau $\frac{d^2y}{dx^2}$
• Turunan ke-$n$: $f^{(n)}(x)$ atau $\frac{d^ny}{dx^n}$

Contoh: Untuk $f(x) = x^4$:

• $f’(x) = 4x^3$
• $f”(x) = 12x^2$
• $f'''(x) = 24x$
• $f^{(4)}(x) = 24$
• $f^{(5)}(x) = 0$

Turunan Parametrik

Untuk kurva parametrik $x = f(t)$, $y = g(t)$:

Turunan Pertama: $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{g’(t)}{f’(t)}$$

Turunan Kedua: $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$$

Contoh: Untuk $x = t^2$, $y = t^3$: $$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}$$ $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3/2}{2t} = \frac{3}{4t}$$

---

3. Aplikasi Turunan

Nilai Ekstrem (Maksimum dan Minimum)

Definisi:

• Maksimum Lokal: $f(c)$ adalah maksimum lokal jika $f(c) \geq f(x)$ untuk semua $x$ di sekitar $c$
• Minimum Lokal: $f(c)$ adalah minimum lokal jika $f(c) \leq f(x)$ untuk semua $x$ di sekitar $c$
• Nilai Ekstrem Absolut: Maksimum/minimum pada seluruh domain

Titik Kritis: Titik $c$ adalah titik kritis jika $f’(c) = 0$ atau $f’(c)$ tidak ada.

Teorema Nilai Ekstrem: Jika $f$ kontinu pada $[a, b]$, maka $f$ memiliki maksimum dan minimum absolut pada $[a, b]$.

Uji Turunan Pertama

Untuk menentukan jenis ekstrem di titik kritis $c$:

Tanda $f’$	Sebelum $c$	Sesudah $c$	Kesimpulan
$+$	$-$	Maksimum Lokal
$-$	$+$	Minimum Lokal
$+$	$+$	Bukan Ekstrem
$-$	$-$	Bukan Ekstrem

Uji Turunan Kedua

Jika $f’(c) = 0$ dan $f”(c)$ ada:

Nilai $f”(c)$	Kesimpulan
$f”(c) > 0$	Minimum Lokal
$f”(c) < 0$	Maksimum Lokal
$f”(c) = 0$	Tidak dapat ditentukan (gunakan uji turunan pertama)

Contoh: Untuk $f(x) = x^3 - 3x + 2$:

• $f’(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x+1)(x-1)$
• Titik kritis: $x = -1$ dan $x = 1$
• $f”(x) = 6x$
• $f”(-1) = -6 < 0$ → Maksimum lokal di $x = -1$
• $f”(1) = 6 > 0$ → Minimum lokal di $x = 1$

Kecekungan dan Titik Belok

Kecekungan (Concavity):

• Cekung ke atas (Concave Up): $f”(x) > 0$ (kurva berbentuk U)
• Cekung ke bawah (Concave Down): $f”(x) < 0$ (kurva berbentuk ∩)

Titik Belok (Inflection Point): Titik dimana kecekungan berubah. Di titik belok $c$:

• $f”(c) = 0$ atau $f”(c)$ tidak ada
• Tanda $f”$ berubah di sekitar $c$

Contoh: Untuk $f(x) = x^3$:

• $f”(x) = 6x$
• $f”(0) = 0$ dan tanda berubah → Titik belok di $(0, 0)$

Sketsa Kurva

Langkah-langkah:

1. Domain: Tentukan domain fungsi
2. Intercepts: Cari titik potong sumbu ($x = 0$ dan $y = 0$)
3. Simetri: Periksa fungsi genap/ganjil
4. Asimtot: Horizontal, vertikal, dan miring
5. Interval Naik/Turun: Analisis tanda $f’(x)$
6. Nilai Ekstrem: Tentukan maksimum dan minimum
7. Kecekungan: Analisis tanda $f”(x)$
8. Titik Belok: Tentukan titik perubahan kecekungan

Asimtot

Asimtot Horizontal: $$y = L \text{ jika } \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$$

Asimtot Vertikal: $$x = a \text{ jika } \lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = \pm\infty$$

Asimtot Miring: $$y = mx + b \text{ dimana } m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} \text{ dan } b = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]$$

Masalah Optimisasi

Langkah-langkah:

1. Gambar diagram dan identifikasi variabel
2. Tentukan fungsi objektif yang akan dioptimalkan
3. Tentukan kendala (constraint)
4. Ekspresikan fungsi objektif dalam satu variabel
5. Cari turunan dan titik kritis
6. Verifikasi bahwa titik kritis memberikan ekstrem yang diinginkan
7. Jawab pertanyaan dengan satuan yang tepat

Contoh Klasik: _Kotak tanpa tutup dengan volume 4000 cm³. Cari dimensi yang meminimalkan luas permukaan._

Misal alas persegi dengan sisi $x$ dan tinggi $h$.

• Kendala: $x^2h = 4000 \Rightarrow h = \frac{4000}{x^2}$
• Fungsi objektif: $S = x^2 + 4xh = x^2 + \frac{16000}{x}$
• $\frac{dS}{dx} = 2x - \frac{16000}{x^2} = 0$
• $x^3 = 8000 \Rightarrow x = 20$ cm, $h = 10$ cm

Laju Terkait (Related Rates)

Konsep: Mencari laju perubahan satu besaran terhadap waktu jika diketahui laju perubahan besaran lain yang terkait.

Langkah-langkah:

1. Identifikasi semua besaran yang berubah terhadap waktu
2. Tuliskan laju yang diketahui dan yang dicari
3. Hubungkan besaran dengan persamaan
4. Turunkan kedua ruas terhadap waktu $t$ (gunakan chain rule)
5. Substitusi nilai yang diketahui
6. Selesaikan untuk laju yang dicari

Contoh: _Tangga 10 m bersandar di dinding. Kaki tangga bergeser menjauhi dinding dengan laju 2 m/s. Seberapa cepat puncak tangga turun saat kaki tangga 6 m dari dinding?_

• Hubungan: $x^2 + y^2 = 100$
• Turunkan: $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$
• Saat $x = 6$: $y = 8$
• $2(6)(2) + 2(8)\frac{dy}{dt} = 0$
• $\frac{dy}{dt} = -\frac{3}{2}$ m/s (turun)

Diferensial dan Aproksimasi Linear

Diferensial: $$dy = f’(x) \cdot dx$$

Aproksimasi Linear: $$f(x) \approx f(a) + f’(a)(x - a)$$

Contoh: Aproksimasi $\sqrt{4.1}$ menggunakan $f(x) = \sqrt{x}$ di $a = 4$: $$\sqrt{4.1} \approx \sqrt{4} + \frac{1}{2\sqrt{4}}(4.1 - 4) = 2 + \frac{1}{4}(0.1) = 2.025$$

Teorema Nilai Rata-rata (Mean Value Theorem)

Pernyataan: Jika $f$ kontinu pada $[a, b]$ dan terdiferensial pada $(a, b)$, maka ada $c \in (a, b)$ sehingga: $$f’(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Interpretasi Geometris: Ada titik dimana garis singgung sejajar dengan garis sekant yang menghubungkan $(a, f(a))$ dan $(b, f(b))$.

Teorema Rolle: Jika $f$ kontinu pada $[a, b]$, terdiferensial pada $(a, b)$, dan $f(a) = f(b)$, maka ada $c \in (a, b)$ sehingga $f’(c) = 0$.

---

4. Integral

Antiturunan dan Integral Tak Tentu

Definisi: $F(x)$ adalah antiturunan dari $f(x)$ jika $F’(x) = f(x)$.

Integral Tak Tentu: $$\int f(x) , dx = F(x) + C$$

dimana $C$ adalah konstanta integrasi.

Rumus Integral Dasar

| Fungsi | Integral | | -------------------------- | --------------------------------------------- | --------------- | --------- | ------ | ---- | | $\int x^n , dx$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (untuk $n \neq -1$) | | $\int \frac{1}{x} , dx$ | $\ln | x | + C$ | | $\int e^x , dx$ | $e^x + C$ | | $\int a^x , dx$ | $\frac{a^x}{\ln a} + C$ | | $\int \sin x , dx$ | $-\cos x + C$ | | $\int \cos x , dx$ | $\sin x + C$ | | $\int \sec^2 x , dx$ | $\tan x + C$ | | $\int \csc^2 x , dx$ | $-\cot x + C$ | | $\int \sec x \tan x , dx$ | $\sec x + C$ | | $\int \csc x \cot x , dx$ | $-\csc x + C$ | | $\int \tan x , dx$ | $-\ln | \cos x | + C = \ln | \sec x | + C$ | | $\int \cot x , dx$ | $\ln | \sin x | + C$ | | $\int \sec x , dx$ | $\ln | \sec x + \tan x | + C$ | | $\int \csc x , dx$ | $-\ln | \csc x + \cot x | + C$ |

Integral yang Menghasilkan Fungsi Invers

| Integral | Hasil | | -------------------------------------- | ------------------------------------ | --- | --------- | | $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} , dx$ | $\arcsin x + C$ | | $\int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} , dx$ | $\arccos x + C$ | | $\int \frac{1}{1+x^2} , dx$ | $\arctan x + C$ | | $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} , dx$ | $\arcsin \frac{x}{a} + C$ | | $\int \frac{1}{a^2+x^2} , dx$ | $\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} + C$ | | $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}} , dx$ | $\frac{1}{a}\text{arcsec} \frac{ | x | }{a} + C$ |

Sifat Integral

Sifat	Rumus
Konstanta	$\int cf(x) , dx = c \int f(x) , dx$
Penjumlahan	$\int [f(x) + g(x)] , dx = \int f(x) , dx + \int g(x) , dx$
Pengurangan	$\int [f(x) - g(x)] , dx = \int f(x) , dx - \int g(x) , dx$

Teknik Substitusi (u-Substitution)

Rumus: $$\int f(g(x)) \cdot g’(x) , dx = \int f(u) , du$$

dimana $u = g(x)$ dan $du = g’(x) , dx$.

Langkah-langkah:

1. Pilih $u = g(x)$ (biasanya bagian “dalam” dari fungsi komposit)
2. Hitung $du = g’(x) , dx$
3. Substitusi sehingga integral hanya mengandung $u$
4. Integrasikan terhadap $u$
5. Substitusi kembali $u = g(x)$

Contoh: $$\int 2x \cos(x^2) , dx$$

Misal $u = x^2$, maka $du = 2x , dx$: $$\int \cos u , du = \sin u + C = \sin(x^2) + C$$

Integral Parsial (Integration by Parts)

Rumus: $$\int u , dv = uv - \int v , du$$

Rumus Alternatif: $$\int f(x)g(x) , dx = f(x)G(x) - \int f’(x)G(x) , dx$$

dimana $G(x) = \int g(x) , dx$.

Aturan LIATE untuk Memilih $u$: Prioritaskan dalam urutan:

1. Logaritma ($\ln x$, $\log x$)
2. Invers trigonometri ($\arcsin x$, $\arctan x$)
3. Aljabar ($x^n$, polinomial)
4. Trigonometri ($\sin x$, $\cos x$)
5. Eksponensial ($e^x$, $a^x$)

Contoh 1: $$\int x e^x , dx$$

Pilih $u = x$, $dv = e^x , dx$, maka $du = dx$, $v = e^x$: $$\int x e^x , dx = xe^x - \int e^x , dx = xe^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$$

Contoh 2 (Integral Parsial Berulang): $$\int x^2 e^x , dx$$

Pertama: $u = x^2$, $dv = e^x dx$ $$= x^2 e^x - \int 2x e^x , dx$$

Kedua: $u = 2x$, $dv = e^x dx$ $$= x^2 e^x - \left[2x e^x - \int 2e^x , dx\right]$$ $$= x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$$

Contoh 3 (Integral Parsial Siklik): $$\int e^x \sin x , dx$$

Pertama: $u = e^x$, $dv = \sin x , dx$ $$= -e^x \cos x + \int e^x \cos x , dx$$

Kedua: $u = e^x$, $dv = \cos x , dx$ $$= -e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \sin x , dx$$

Maka: $$2\int e^x \sin x , dx = e^x(\sin x - \cos x)$$ $$\int e^x \sin x , dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$$

Metode Tabulasi (Tabular Integration)

Untuk integral $\int p(x) \cdot f(x) , dx$ dimana $p(x)$ adalah polinomial:

Turunan $p(x)$	Tanda	Integral $f(x)$
$p(x)$	$+$	$\int f$
$p’(x)$	$-$	$\iint f$
$p”(x)$	$+$	$\iiint f$
…	…	…

Kalikan diagonal dan jumlahkan dengan tanda bergantian.

Contoh: $$\int x^3 e^{2x} , dx$$

Turunan	Tanda	Integral
$x^3$	$+$	$\frac{1}{2}e^{2x}$
$3x^2$	$-$	$\frac{1}{4}e^{2x}$
$6x$	$+$	$\frac{1}{8}e^{2x}$
$6$	$-$	$\frac{1}{16}e^{2x}$
$0$

$$= \frac{e^{2x}}{2}x^3 - \frac{e^{2x}}{4}(3x^2) + \frac{e^{2x}}{8}(6x) - \frac{e^{2x}}{16}(6) + C$$ $$= \frac{e^{2x}}{16}(8x^3 - 12x^2 + 12x - 6) + C$$

Integral Pecahan Parsial

Konsep: Menguraikan pecahan rasional menjadi pecahan yang lebih sederhana.

Bentuk Faktor dan Pecahan Parsial:

Faktor di Penyebut	Bentuk Pecahan Parsial
$(ax + b)$	$\frac{A}{ax + b}$
$(ax + b)^n$	$\frac{A_1}{ax + b} + \frac{A_2}{(ax + b)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(ax + b)^n}$
$(ax^2 + bx + c)$	$\frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c}$
$(ax^2 + bx + c)^n$	$\frac{A_1x + B_1}{ax^2 + bx + c} + \cdots + \frac{A_nx + B_n}{(ax^2 + bx + c)^n}$

Contoh 1 (Faktor Linear Berbeda): $$\int \frac{1}{(x-1)(x+2)} , dx = \int \left(\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}\right) dx$$

Menentukan $A$ dan $B$: $$1 = A(x+2) + B(x-1)$$

• $x = 1$: $1 = 3A \Rightarrow A = \frac{1}{3}$
• $x = -2$: $1 = -3B \Rightarrow B = -\frac{1}{3}$

$$= \frac{1}{3}\ln|x-1| - \frac{1}{3}\ln|x+2| + C = \frac{1}{3}\ln\left|\frac{x-1}{x+2}\right| + C$$

Contoh 2 (Faktor Linear Berulang): $$\int \frac{x}{(x-1)^2} , dx = \int \left(\frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2}\right) dx$$

$$x = A(x-1) + B$$

• $x = 1$: $B = 1$
• Koefisien $x$: $A = 1$

$$= \ln|x-1| - \frac{1}{x-1} + C$$

Contoh 3 (Faktor Kuadratik): $$\int \frac{x+1}{(x^2+1)(x-1)} , dx = \int \left(\frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{C}{x-1}\right) dx$$

Substitusi Trigonometri

Panduan:

Bentuk	Substitusi	Identitas
$\sqrt{a^2 - x^2}$	$x = a\sin\theta$	$1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$
$\sqrt{a^2 + x^2}$	$x = a\tan\theta$	$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$\sqrt{x^2 - a^2}$	$x = a\sec\theta$	$\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta$

Contoh: $$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} , dx$$

Substitusi $x = 2\sin\theta$, $dx = 2\cos\theta , d\theta$: $$= \int \frac{2\cos\theta}{\sqrt{4 - 4\sin^2\theta}} , d\theta = \int \frac{2\cos\theta}{2\cos\theta} , d\theta = \theta + C = \arcsin\frac{x}{2} + C$$

Integral Fungsi Trigonometri

Integral $\int \sin^m x \cos^n x , dx$:

Kondisi	Strategi
$m$ ganjil	Pisahkan satu $\sin x$, gunakan $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, substitusi $u = \cos x$
$n$ ganjil	Pisahkan satu $\cos x$, gunakan $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, substitusi $u = \sin x$
Keduanya genap	Gunakan rumus sudut ganda: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$, $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

Integral $\int \tan^m x \sec^n x , dx$:

Kondisi	Strategi
$n$ genap	Pisahkan $\sec^2 x$, gunakan $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$, substitusi $u = \tan x$
$m$ ganjil	Pisahkan $\sec x \tan x$, gunakan $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$, substitusi $u = \sec x$

Rumus Produk ke Jumlah: $$\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$$ $$\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$$ $$\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$$

Substitusi Weierstrass (Substitusi Tan Setengah Sudut)

Untuk integral rasional dalam $\sin x$ dan $\cos x$:

$$t = \tan\frac{x}{2}$$

Maka: $$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2} , dt$$

---

5. Integral Tentu

Definisi Integral Tentu

Jumlah Riemann: $$\int_a^b f(x) , dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$$

dimana $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ dan $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$.

Teorema Dasar Kalkulus I: Jika $F(x) = \int_a^x f(t) , dt$, maka: $$F’(x) = f(x)$$

Teorema Dasar Kalkulus II: $$\int_a^b f(x) , dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b$$

dimana $F$ adalah antiturunan dari $f$.

Sifat Integral Tentu

Sifat	Rumus
Batas Sama	$\int_a^a f(x) , dx = 0$
Batas Terbalik	$\int_a^b f(x) , dx = -\int_b^a f(x) , dx$
Linearitas	$\int_a^b [cf(x) + dg(x)] , dx = c\int_a^b f(x) , dx + d\int_a^b g(x) , dx$
Penambahan Interval	$\int_a^c f(x) , dx = \int_a^b f(x) , dx + \int_b^c f(x) , dx$
Komparasi	Jika $f(x) \leq g(x)$ pada $[a,b]$, maka $\int_a^b f , dx \leq \int_a^b g , dx$

Sifat Simetri

Fungsi Genap ($f(-x) = f(x)$): $$\int_{-a}^{a} f(x) , dx = 2\int_0^a f(x) , dx$$

Fungsi Ganjil ($f(-x) = -f(x)$): $$\int_{-a}^{a} f(x) , dx = 0$$

Substitusi pada Integral Tentu

Jika $u = g(x)$, maka: $$\int_a^b f(g(x)) g’(x) , dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) , du$$

Perhatian: Jangan lupa mengubah batas integrasi!

Nilai Rata-rata Fungsi

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) , dx$$

Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral: Jika $f$ kontinu pada $[a, b]$, maka ada $c \in [a, b]$ sehingga: $$f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) , dx$$

---

6. Aplikasi Integral

Luas Daerah

Antara Kurva dan Sumbu-$x$: $$A = \int_a^b |f(x)| , dx$$

Antara Dua Kurva (terhadap $x$): $$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| , dx = \int_a^b [\text{atas} - \text{bawah}] , dx$$

Antara Dua Kurva (terhadap $y$): $$A = \int_c^d |f(y) - g(y)| , dy = \int_c^d [\text{kanan} - \text{kiri}] , dy$$

Contoh: Luas antara $y = x^2$ dan $y = x$:

• Titik potong: $x^2 = x \Rightarrow x = 0, 1$
• $A = \int_0^1 (x - x^2) , dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Volume Benda Putar

Metode Cakram (Disk Method): Memutar daerah di bawah $y = f(x)$ terhadap sumbu-$x$: $$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 , dx$$

Memutar daerah di sebelah kiri $x = g(y)$ terhadap sumbu-$y$: $$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 , dy$$

Metode Cincin (Washer Method): Memutar daerah antara $y = f(x)$ dan $y = g(x)$ terhadap sumbu-$x$: $$V = \pi \int_a^b \left([f(x)]^2 - [g(x)]^2\right) , dx = \pi \int_a^b (R^2 - r^2) , dx$$

dimana $R$ = jari-jari luar, $r$ = jari-jari dalam.

Metode Kulit Tabung (Shell Method): Memutar daerah di bawah $y = f(x)$ terhadap sumbu-$y$: $$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) , dx = 2\pi \int_a^b (\text{jari-jari}) \cdot (\text{tinggi}) , dx$$

Memutar terhadap sumbu-$x$: $$V = 2\pi \int_c^d y \cdot g(y) , dy$$

Kapan Menggunakan Metode Mana:

Sumbu Rotasi	Irisan ⊥ Sumbu	Irisan ∥ Sumbu
Sumbu-$x$	Cakram/Cincin ($dx$)	Kulit Tabung ($dy$)
Sumbu-$y$	Cakram/Cincin ($dy$)	Kulit Tabung ($dx$)

Panjang Busur (Arc Length)

Kurva $y = f(x)$: $$L = \int_a^b \sqrt{1 + [f’(x)]^2} , dx$$

Kurva $x = g(y)$: $$L = \int_c^d \sqrt{1 + [g’(y)]^2} , dy$$

Kurva Parametrik $x = f(t)$, $y = g(t)$: $$L = \int_\alpha^\beta \sqrt{[f’(t)]^2 + [g’(t)]^2} , dt$$

Kurva Polar $r = f(\theta)$: $$L = \int_\alpha^\beta \sqrt{[f(\theta)]^2 + [f’(\theta)]^2} , d\theta = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} , d\theta$$

Luas Permukaan Benda Putar

Rotasi terhadap Sumbu-$x$: $$S = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + [f’(x)]^2} , dx = 2\pi \int_a^b y , ds$$

Rotasi terhadap Sumbu-$y$: $$S = 2\pi \int_a^b x \sqrt{1 + [f’(x)]^2} , dx = 2\pi \int_a^b x , ds$$

dimana $ds = \sqrt{1 + [f’(x)]^2} , dx$ adalah elemen panjang busur.

Kerja (Work)

Kerja oleh Gaya Konstan: $$W = F \cdot d$$

Kerja oleh Gaya Variabel: $$W = \int_a^b F(x) , dx$$

Aplikasi Umum:

Aplikasi	Formula Gaya
Pegas (Hukum Hooke)	$F(x) = kx$
Gravitasi	$F(x) = \frac{GMm}{x^2}$
Memompa Cairan	$F = \rho g V$ (berat per satuan volume × jarak)

Contoh (Pegas): Pegas dengan konstanta $k = 100$ N/m diregangkan dari 0.1 m ke 0.3 m: $$W = \int_{0.1}^{0.3} 100x , dx = 50[x^2]_{0.1}^{0.3} = 50(0.09 - 0.01) = 4 \text{ J}$$

Momen dan Pusat Massa

Untuk Sistem Titik: $$\bar{x} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}, \quad \bar{y} = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i}$$

Untuk Lamina (Pelat Tipis) dengan Densitas Seragam: $$\bar{x} = \frac{M_y}{m} = \frac{\int_a^b x \cdot f(x) , dx}{\int_a^b f(x) , dx}$$

$$\bar{y} = \frac{M_x}{m} = \frac{\frac{1}{2}\int_a^b [f(x)]^2 , dx}{\int_a^b f(x) , dx}$$

Teorema Pappus:

1. Volume: Jika daerah diputar terhadap sumbu eksternal, maka $V = 2\pi \bar{d} \cdot A$, dimana $\bar{d}$ adalah jarak pusat massa ke sumbu dan $A$ adalah luas daerah.
2. Luas Permukaan: $S = 2\pi \bar{d} \cdot L$, dimana $L$ adalah panjang kurva.

---

7. Integral Tak Wajar (Improper Integrals)

Batas Tak Hingga

Tipe I (Batas Atas Tak Hingga): $$\int_a^\infty f(x) , dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x) , dx$$

Tipe I (Batas Bawah Tak Hingga): $$\int_{-\infty}^b f(x) , dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x) , dx$$

Keduanya Tak Hingga: $$\int_{-\infty}^\infty f(x) , dx = \int_{-\infty}^c f(x) , dx + \int_c^\infty f(x) , dx$$

Integran Tak Terbatas

Tipe II (Diskontinuitas di $a$): $$\int_a^b f(x) , dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x) , dx$$

Tipe II (Diskontinuitas di $b$): $$\int_a^b f(x) , dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) , dx$$

Diskontinuitas di Dalam: $$\int_a^b f(x) , dx = \int_a^c f(x) , dx + \int_c^b f(x) , dx$$

Konvergensi dan Divergensi

Integral tak wajar konvergen jika limitnya ada dan berhingga, divergen jika tidak.

Integral p: $$\int_1^\infty \frac{1}{x^p} , dx = \begin{cases} \frac{1}{p-1} & \text{jika } p > 1 \text{ (konvergen)} \ \infty & \text{jika } p \leq 1 \text{ (divergen)} \end{cases}$$

$$\int_0^1 \frac{1}{x^p} , dx = \begin{cases} \frac{1}{1-p} & \text{jika } p < 1 \text{ (konvergen)} \ \infty & \text{jika } p \geq 1 \text{ (divergen)} \end{cases}$$

Uji Perbandingan

Uji Perbandingan Langsung: Jika $0 \leq f(x) \leq g(x)$ untuk semua $x \geq a$:

• Jika $\int_a^\infty g(x) , dx$ konvergen, maka $\int_a^\infty f(x) , dx$ konvergen
• Jika $\int_a^\infty f(x) , dx$ divergen, maka $\int_a^\infty g(x) , dx$ divergen

Uji Perbandingan Limit: Jika $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L$ dengan $0 < L < \infty$, maka keduanya konvergen atau keduanya divergen.

---

8. Barisan dan Deret

Barisan (Sequences)

Definisi: Barisan ${a_n}$ adalah fungsi dari bilangan asli ke bilangan real.

Limit Barisan: $$\lim_{n \to \infty} a_n = L$$

Barisan Konvergen: Limit ada dan berhingga. Barisan Divergen: Limit tidak ada atau tak hingga.

Sifat Limit Barisan: Sama seperti limit fungsi (penjumlahan, perkalian, pembagian, dll.)

Barisan Penting:

| Barisan | Limit | | ----------------------------------------------------- | ------------------- | --- | ---- | | $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p}$ | $0$ untuk $p > 0$ | | $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}$ | $1$ | | $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}$ | $1$ untuk $a > 0$ | | $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ | $e$ | | $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$ | $e^x$ | | $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$ | $0$ | | $\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{n!}$ | $0$ untuk semua $x$ | | $\lim_{n \to \infty} r^n$ | $0$ jika $ | r | < 1$ |

Deret (Series)

Definisi: Deret adalah jumlah tak hingga: $$\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$$

Jumlah Parsial: $$S_N = \sum_{n=1}^N a_n$$

Konvergensi: Deret konvergen jika $\lim_{N \to \infty} S_N$ ada dan berhingga.

Deret Geometri

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r} \text{ jika } |r| < 1$$

Divergen jika $|r| \geq 1$.

Contoh: $$\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$$

Deret Harmonik

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \text{divergen}$$

Deret p

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} = \begin{cases} \text{konvergen} & \text{jika } p > 1 \ \text{divergen} & \text{jika } p \leq 1 \end{cases}$$

Kasus Khusus: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

Uji Konvergensi Deret

1. Uji Suku ke-$n$ (Divergence Test): Jika $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ atau limit tidak ada, maka $\sum a_n$ divergen.

_Catatan: Jika $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$, uji ini tidak dapat menyimpulkan apa-apa._

2. Uji Perbandingan (Comparison Test): Jika $0 \leq a_n \leq b_n$ untuk semua $n$:

• Jika $\sum b_n$ konvergen, maka $\sum a_n$ konvergen
• Jika $\sum a_n$ divergen, maka $\sum b_n$ divergen

3. Uji Perbandingan Limit (Limit Comparison Test): Jika $a_n, b_n > 0$ dan $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$ dengan $0 < L < \infty$: Maka $\sum a_n$ dan $\sum b_n$ sama-sama konvergen atau divergen.

4. Uji Rasio (Ratio Test): $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$$

Nilai $L$	Kesimpulan
$L < 1$	Konvergen mutlak
$L > 1$	Divergen
$L = 1$	Tidak dapat ditentukan

5. Uji Akar (Root Test): $$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$$

Kesimpulan sama seperti uji rasio.

6. Uji Integral: Jika $f$ positif, kontinu, dan menurun pada $[1, \infty)$ dengan $f(n) = a_n$: $$\sum_{n=1}^\infty a_n \text{ dan } \int_1^\infty f(x) , dx \text{ sama-sama konvergen atau divergen}$$

7. Uji Deret Berganti (Alternating Series Test): Untuk $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} b_n$ dengan $b_n > 0$: Jika $b_{n+1} \leq b_n$ (menurun) dan $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$, maka deret konvergen.

Konvergensi Mutlak vs Bersyarat

Konvergensi Mutlak: $\sum |a_n|$ konvergen. Konvergensi Bersyarat: $\sum a_n$ konvergen tapi $\sum |a_n|$ divergen.

_Konvergensi mutlak ⟹ Konvergensi biasa_

---

9. Deret Pangkat dan Deret Taylor

Deret Pangkat

Definisi: $$\sum_{n=0}^\infty c_n (x - a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots$$

Deret pangkat berpusat di $x = a$.

Jari-jari Konvergensi ($R$): $$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}$$

Interval Konvergensi:

• Deret konvergen mutlak untuk $|x - a| < R$
• Deret divergen untuk $|x - a| > R$
• Perlu diuji terpisah untuk $x = a \pm R$

Deret Taylor dan Maclaurin

Deret Taylor: $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

Deret Maclaurin (Taylor di $a = 0$): $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

Deret Maclaurin Penting

Fungsi	Deret Maclaurin	Interval Konvergensi
$e^x$	$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$	$(-\infty, \infty)$
$\sin x$	$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$	$(-\infty, \infty)$
$\cos x$	$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$	$(-\infty, \infty)$
$\frac{1}{1-x}$	$\sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$	$(-1, 1)$
$\frac{1}{1+x}$	$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots$	$(-1, 1)$
$\ln(1+x)$	$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$	$(-1, 1]$
$\arctan x$	$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$	$[-1, 1]$
$(1+x)^k$	$\sum_{n=0}^\infty \binom{k}{n} x^n = 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \cdots$	$(-1, 1)$
$\sinh x$	$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$	$(-\infty, \infty)$
$\cosh x$	$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$	$(-\infty, \infty)$

Koefisien Binomial

$$\binom{k}{n} = \frac{k(k-1)(k-2)\cdots(k-n+1)}{n!}$$

untuk $k$ riil dan $n$ bilangan bulat non-negatif.

Operasi pada Deret Pangkat

Penjumlahan dan Pengurangan: Term by term dalam interval konvergensi bersama.

Perkalian: Konvolusi koefisien (Cauchy product).

Diferensiasi: $$\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n = \sum_{n=1}^\infty nc_n(x-a)^{n-1}$$

Jari-jari konvergensi tetap sama.

Integrasi: $$\int \sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n , dx = C + \sum_{n=0}^\infty \frac{c_n}{n+1}(x-a)^{n+1}$$

Jari-jari konvergensi tetap sama.

Sisa Taylor (Remainder)

Sisa Taylor Orde-$n$: $$R_n(x) = f(x) - T_n(x)$$

dimana $T_n(x)$ adalah polinomial Taylor orde-$n$.

Bentuk Lagrange: $$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

untuk suatu $c$ antara $a$ dan $x$.

Batas Galat: $$|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$$

dimana $|f^{(n+1)}(c)| \leq M$ untuk semua $c$ antara $a$ dan $x$.

---

10. Koordinat Polar

Hubungan Koordinat

Kartesian ke Polar: $$r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arctan\frac{y}{x}$$

Polar ke Kartesian: $$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$$

Grafik Polar Umum

Nama	Persamaan
Lingkaran	$r = a$ (berpusat di origin)
Lingkaran	$r = a\cos\theta$ (berpusat di $(a/2, 0)$)
Lingkaran	$r = a\sin\theta$ (berpusat di $(0, a/2)$)
Garis	$\theta = \alpha$ (melewati origin)
Spiral	$r = a\theta$ (Archimedes)
Cardioid	$r = a(1 \pm \cos\theta)$ atau $r = a(1 \pm \sin\theta)$
Limaçon	$r = a \pm b\cos\theta$
Mawar	$r = a\cos(n\theta)$ atau $r = a\sin(n\theta)$
Lemniscate	$r^2 = a^2\cos(2\theta)$ atau $r^2 = a^2\sin(2\theta)$

Luas dalam Koordinat Polar

$$A = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2 , d\theta = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta [f(\theta)]^2 , d\theta$$

Luas antara Dua Kurva: $$A = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta \left([r_{\text{luar}}]^2 - [r_{\text{dalam}}]^2\right) d\theta$$

Kemiringan Garis Singgung

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{\frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta}{\frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r\sin\theta}$$

---

11. Kalkulus Multivariabel (Pengantar)

Fungsi Dua Variabel

Definisi: $z = f(x, y)$ adalah fungsi dari $\mathbb{R}^2$ ke $\mathbb{R}$.

Domain: Himpunan semua $(x, y)$ dimana $f$ terdefinisi. Range: Himpunan semua nilai $z$ yang mungkin.

Limit Multivariabel

$$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L$$

Syarat: Limit harus sama untuk semua lintasan menuju $(a, b)$.

Uji Divergensi: Jika dua lintasan berbeda memberikan limit berbeda, maka limit tidak ada.

Turunan Parsial

Definisi: $$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$$

$$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h}$$

Notasi:

• $f_x$, $f_y$ (subscript)
• $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$ (Leibniz)
• $\partial_x f$, $\partial_y f$

Turunan Parsial Tingkat Tinggi

$$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$$

$$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, \quad f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$$

Teorema Clairaut: Jika $f_{xy}$ dan $f_{yx}$ kontinu, maka $f_{xy} = f_{yx}$.

Aturan Rantai Multivariabel

Kasus 1: $z = f(x, y)$, $x = g(t)$, $y = h(t)$: $$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

Kasus 2: $z = f(x, y)$, $x = g(s, t)$, $y = h(s, t)$: $$\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$$

Gradien

Definisi: $$\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle = f_x \mathbf{i} + f_y \mathbf{j}$$

Untuk Tiga Variabel: $$\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle$$

Sifat:

• Arah $\nabla f$ adalah arah kenaikan tercepat
• $|\nabla f|$ adalah laju perubahan maksimum
• $\nabla f$ tegak lurus terhadap kurva level

Turunan Berarah

$$D_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta$$

dimana $\mathbf{u}$ adalah vektor satuan arah.

Bidang Singgung dan Garis Normal

Untuk permukaan $z = f(x, y)$ di titik $(a, b, f(a,b))$:

Bidang Singgung: $$z - f(a,b) = f_x(a,b)(x - a) + f_y(a,b)(y - b)$$

Garis Normal: $$\frac{x - a}{f_x(a,b)} = \frac{y - b}{f_y(a,b)} = \frac{z - f(a,b)}{-1}$$

Nilai Ekstrem Fungsi Dua Variabel

Titik Kritis: Titik dimana $f_x = 0$ dan $f_y = 0$ (atau tidak ada).

Uji Turunan Kedua: Definisikan diskriminan: $$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$$

Kondisi	Kesimpulan
$D > 0$ dan $f_{xx} > 0$	Minimum Lokal
$D > 0$ dan $f_{xx} < 0$	Maksimum Lokal
$D < 0$	Titik Pelana (Saddle Point)
$D = 0$	Tidak dapat ditentukan

Pengali Lagrange

Untuk mengoptimalkan $f(x, y)$ dengan kendala $g(x, y) = c$:

Cari titik dimana: $$\nabla f = \lambda \nabla g$$

Atau equivalently: $$f_x = \lambda g_x, \quad f_y = \lambda g_y, \quad g(x, y) = c$$

dimana $\lambda$ adalah pengali Lagrange.

Integral Lipat

Integral Lipat Dua: $$\iint_R f(x, y) , dA = \int_a^b \int_{c}^{d} f(x, y) , dy , dx$$

Dalam Koordinat Polar: $$\iint_R f(x, y) , dA = \iint_R f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r , dr , d\theta$$

Aplikasi:

• Luas: $A = \iint_R 1 , dA$
• Volume: $V = \iint_R f(x, y) , dA$
• Massa: $m = \iint_R \rho(x, y) , dA$

Integral Lipat Tiga

$$\iiint_E f(x, y, z) , dV = \int \int \int f(x, y, z) , dz , dy , dx$$

Dalam Koordinat Silinder $(r, \theta, z)$: $$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z$$ $$dV = r , dr , d\theta , dz$$

Dalam Koordinat Bola $(\rho, \phi, \theta)$: $$x = \rho\sin\phi\cos\theta, \quad y = \rho\sin\phi\sin\theta, \quad z = \rho\cos\phi$$ $$dV = \rho^2 \sin\phi , d\rho , d\phi , d\theta$$

---

12. Persamaan Diferensial (Pengantar)

Persamaan Diferensial Orde Pertama

Bentuk Umum: $$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$

PD Terpisahkan (Separable)

Bentuk: $$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$$

Solusi: $$\int \frac{1}{h(y)} , dy = \int g(x) , dx$$

Contoh: $$\frac{dy}{dx} = xy$$ $$\int \frac{dy}{y} = \int x , dx$$ $$\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C$$ $$y = Ae^{x^2/2}$$

PD Linear Orde Pertama

Bentuk Standar: $$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

Faktor Integral: $$\mu(x) = e^{\int P(x) , dx}$$

Solusi: $$y = \frac{1}{\mu(x)} \left[\int \mu(x) Q(x) , dx + C\right]$$

PD Eksak

Bentuk: $$M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0$$

Syarat Eksak: $$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$

Solusi: Cari $F(x, y)$ dimana $\frac{\partial F}{\partial x} = M$ dan $\frac{\partial F}{\partial y} = N$. Solusi implisit: $F(x, y) = C$.

PD Linear Orde Kedua Homogen

Bentuk: $$ay” + by’ + cy = 0$$

Persamaan Karakteristik: $$ar^2 + br + c = 0$$

Akar	Solusi Umum
Real berbeda: $r_1 \neq r_2$	$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
Real sama: $r_1 = r_2 = r$	$y = (C_1 + C_2 x) e^{rx}$
Kompleks: $r = \alpha \pm \beta i$	$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$

Pertumbuhan dan Peluruhan

Model Pertumbuhan Eksponensial: $$\frac{dP}{dt} = kP \Rightarrow P(t) = P_0 e^{kt}$$

Model Logistik: $$\frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{K}\right) \Rightarrow P(t) = \frac{K}{1 + Ae^{-kt}}$$

dimana $K$ adalah kapasitas dukung (carrying capacity).

---

13. Tabel Referensi Cepat

Identitas Trigonometri Penting

Identitas	Rumus
Pythagoras	$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
	$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$
	$1 + \cot^2 x = \csc^2 x$
Sudut Ganda	$\sin 2x = 2\sin x \cos x$
	$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$
Setengah Sudut	$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
	$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
Jumlah ke Produk	$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
	$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

Konstanta Penting

Konstanta	Nilai
$e$	$2.71828…$
$\pi$	$3.14159…$
$\ln 2$	$0.69315…$
$\sqrt{2}$	$1.41421…$
$\sqrt{3}$	$1.73205…$

Nilai Trigonometri Penting

$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$0$	$0$	$1$	$0$
$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	$\text{undefined}$

Ringkasan Uji Konvergensi

| Uji | Kondisi Konvergen | Kondisi Divergen | | ------------ | --------------------------------------- | -------------------------------------- | ---- | --- | --- | ------- | | Suku ke-$n$ | - | $\lim a_n \neq 0$ | | Geometri | $ | r | < 1$ | $ | r | \geq 1$ | | p-series | $p > 1$ | $p \leq 1$ | | Rasio | $L < 1$ | $L > 1$ | | Akar | $L < 1$ | $L > 1$ | | Integral | Integral konvergen | Integral divergen | | Perbandingan | $a_n \leq b_n$, $\sum b_n$ konvergen | $a_n \geq b_n$, $\sum b_n$ divergen | | Alternating | $b_n \downarrow 0$ | - |